Băjenaru a îndeplinit funcţia de viceconsul la Consulatul General al României la Sydney (1988-1991, respectiv consul gerant interimar la Sydney în perioada 1988-1990), viceconsul la Consulatul General al României la Istanbul (1992-1994), consul general la Consulatul General al României la Istanbul (1997-2001). În perioada 2004-martie 2007 a fost şeful secţiei consulare la Ambasada României de la Belgrad.
Din martie 2007 a ocupat funcţia de director, respectiv şef serviciu al Centrului Naţional de Vize.
Radu Băjenaru a absolvit Facultatea de Drept de la Cluj Napoca, şi vorbeşte fluent engleza şi franceza.
Numirea lui Băjenaru intervine după ce fostul consul român la Chişinău, Ion Nuică, a demisionat la 13 iulie, în urma publicării de către cotidianul Curentul a unor imagini video în care diplomatul român este surprins în timpul unei partide de sex. Autorii filmării susţin că femeia este angajată la Consulat. Cei doi protagonişti discută şi despre unele treburi de serviciu, însă nu chestiuni ce ar interesa siguranţa naţională, preciza Curentul. Montajul filmului - realizat în stilul documentarelor Mosfilm - introduce un generic cu accente politice tipice propagandei regimului comunist de la Chişinău, comenta cotidianul, care susţine că a primit filmuleţul la redacţie.
Scandal a intervenit în plin îngheţ diplomatic între Chişinău şi Bucureşti, în condiţiile în care România nu are ambasador în capitala moldoveană, după ce autorităţile de aici au refuzat să-şi dea agrementul pentru persoana propusă de MAE român. Fostul ambasador român la Chişinău, Filip Teodorescu, a fost expulzat în aprilie, împreună cu un alt diplomat român, după ce puterea din R. Moldova au acuzat România de implicare în violenţele postelectorale din 7 aprilie.
